Dziwny przypadek w Strzelcu

Tu posprawdzamy swoją wiedzę na temat Listy Przebojów Trójki — za prawidłowe odpowiedzi nie obiecujemy jednak dżinsów, singielków ani innych gadżetów!
LLucky
Posty: 4076
Rejestracja: wt lip 15, 2008 3:35 pm
Listy Przebojów Trójki słucham od: ?

Dziwny przypadek w Strzelcu

Post autor: LLucky » sob maja 06, 2017 9:39 pm

Niektóre osoby (w tym także mnie samego) intryguje fakt, że od paru ładnych notowań Znawcy gaja6 i ja tydzień w tydzień trafiamy tyle samo piosenek (choć nie są to te same piosenki). Dokładniej rzecz ujmując w chwili, gdy piszę te słowa, "parę ładnych notowań" oznacza 42. Wydaje się nieprawdopodobne, żeby to było dzieło zupełnego przypadku, ale zamiast gdybać na ten temat postanowiłem oszacować to prawdopodobieństwo.

Po pierwsze zebrałem wyniki Strzelca z ostatniego roku (czyli od Znawcy 493 do Znawcy 544 włącznie) i na podstawie tych danych oszacowałem, jakie jest prawdopodobieństwo Y, że dowolny uczestnik tej zabawy trafi X piosenek. To prawdopodobieństwo obliczone z "pomiaru" zaznaczone jest na poniższym rysunku granatowymi krzyżykami.

Obrazek
Mogłem też obliczyć, ile w ciągu tego czasu średnio trafialiśmy piosenek w jednym notowaniu. Wyszło mi około 5,64. Znając tę liczbę mogłem zrobić drugi wykres przedstawiający teoretyczny rozkład tego prawdopodobieństwa, zaznaczony na tym samym rysunku pomarańczowymi kropkami. (Dla miłośników statystyki: założyłem, że jest rozkład Poissona o wartości oczekiwanej równej właśnie 5,64.) Jak widać, oba wykresy nie różnią się zbytnio od siebie, więc wydaje się, że oszacowanie w ten sposób rozkładu naszych trafień w Strzelcu ma sens.

Mając te dane mogłem pokusić się o obliczenie, jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie różne osoby trafią tyle samo piosenek. To bardzo proste. Na przykład szansa, że jedna osoba trafi tylko jedną piosenkę, wynosi 2%. Szansa, że druga osoba też trafi tylko jedną piosenkę, również wynosi 2%. Zatem szansa, że i jedna, i druga trafią po jednej piosence, wynosi 2% * 2% = 0,02 * 0,02 = 0,0004 = 0,04%. Analogicznie można obliczyć, jaka jest szansa, że obie trafią po dwie piosenki, trzy piosenki itd., a także, że obie nie trafią żadnej piosenki (czyli trafią zero). Jeśli teraz podsumujemy te wszystkie szanse, to otrzymamy prawdopodobieństwo, że w jednym Znawcy obie osoby trafią po tyle samo piosenek, niezależnie od tego, ile wynosi owo "tyle samo". Wedle moich obliczeń to prawdopodobieństwo wynosi około 12%.

Aby teraz obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie osoby będą trafiały tak samo 42 razy pod rząd, wystarczy podnieść 12% do potęgi czterdziestej drugiej. I to właśnie teraz wkraczamy w obszar dużych liczb, bo 0,12^42 daje prawdopodobieństwo równe 1:472484608886550000000000000000000000000 (jeden do czterystu siedemdziesięciu dwóch sekstylionów czterystu osiemdziesięciu czterech kwintyliardów sześciuset ośmiu kwintylionów ośmiuset osiemdziesięciu sześciu kwadryliardów pięciuset pięćdziesięciu kwadrylionów).

Mało? Ano mało. Ale to jest szansa, że przez następne 42 notowania Znawcy dalej będziemy z gają trafiali tyle samo piosenek w Strzelcu, a nie, że trafiliśmy w poprzednich notowaniach. To już się stało i żadne prawdopodobieństwo tego nie zmieni. Natomiast szansa, że oboje trafimy tyle samo piosenek w kolejnym Znawcy, wynosi... 12%. A to dużo.

LLucky
Posty: 4076
Rejestracja: wt lip 15, 2008 3:35 pm
Listy Przebojów Trójki słucham od: ?

Re: Dziwny przypadek w Strzelcu

Post autor: LLucky » sob lip 22, 2017 10:02 pm

Okazało się, że przyczyną całego zamieszania był błąd w formularzu obliczeniowym, z powodu którego wyniki gai6 były uznawane za moje... A może odwrotnie, nie pamiętam już. W każdym razie to nie była interwencja sił nadprzyrodzonych ani biała plama w rachunku prawdopodobieństwa. Zaciekawiło mnie, czy w takim razie ten błąd miał wpływ na moje obliczenia, których wynik przedstawiłem powyżej. Ponieważ błąd pojawił się w obrębie 52 notowań, które analizowałem, sięgnąłem bardziej wstecz i zebrałem wyniki Strzelca od Znawcy 441 do Znawcy 492 włącznie. Wrzuciłem je do wcześniej przygotowanego arkusza kalkulacyjnego i otrzymałem taki obrazek:

Obrazek
Średnia liczba trafionych przez nas piosenek zmalała odrobinę z 5,64 na 5,55, a prawdopodobieństwo uzyskania takiego samego wyniku przez dwie osoby wzrosło z 12,0% do 12,1% (w teorii, czyli z dopasowanego rozkładu prawdopodobieństwa, bo to obliczone z wyniku pomiaru wzrosło z 11,7% do 12,4%). Chyba można powiedzieć, że są to zmiany nieznaczące - aczkolwiek specjaliści od rachunku prawdopodobieństwa z pewnością by się na to skrzywili i spytali, co w sensie matematycznym oznacza "nieznaczące"? :?
Może nie będę tutaj tego słowa definiował - dla dobra Waszego i własnego. Jeszcze bym się skompromitował... ;)
Zachęcam natomiast do samodzielnej interpretacji. :)

ODPOWIEDZ